[생산운영관리] Basic Element of Linear Algebra ( 선형 대수학 기초 )

 

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Vector

선형 대수학의 가장 중요한 기본 요소 중 하나인 벡터이다.

n차원 <= 벡터 n가지이며, 아래와 같이 표현할 수 있다

A set of real numbers in a column

위 사진에서는 X의 열 행렬 안의 실제 수들의 집합을 벡터값이라고 볼 수 있다

혹은 X transpose에서도 마찬가지로 내부의 수 집합을 벡터값이라 볼 수 있다

Vector 예시

예시를 들어 위와 같은 벡터의 값은 X1, X2, X3의 방향으로 각각 이동한 [1, 3, 2]의 값을 가지고 있는 벡터라고 볼 수 있다

 

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Scalar Multiplication

Scalar >> 방향이 존재하지 않는 온전한 값이다 정수, 실수 등이 이에 해당한다

 

벡터와 Scalar의 곱셈이다. 쉽게말해 방향별로 이동한 값에 각각 Scalar값을 곱해준다

곱셈을 진행하면 같은 방향으로 더 진행하거나(양수곱) 왔던 방향으로 돌아가기도 한다(음수곱)

벡터와 Scalar의 곱, 각 요소들에 Scalar값들을 곱해주는 모습을 볼 수 있다

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Vector Addition

Vector값들의 덧셈이다

방법은 생각보다 간단하다

같은 행(또는 열)위치에 있는 요소끼리 더해주면 된다

 

벡터끼리의 덧셈, 각 벡터의 방향들이 더해져 새로운 벡터가 만들어진다

같은위치의 요소들끼리 더해진다

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Length of a Vector

벡터의 길이를 나타내는 방법이다

여기서 우리는 굉장히 친숙한 방법을 통해 길이를 구할 수 있다

 

바로 피타고라스의 정리로 유명한 공식인 (a^2 + b^2 = c^2)을 사용한다

피타고라스 공식 벡터에 대입하여 길이 구해보기

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Angle

벡터의 각도는 주로 cosθ로 나타내어지며 이를 구하는 방식은 아래와 같다

&theta; = 각각의 &theta;값을 구한 뒤 차이값을 구한다

 

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Orthogonal

우리말로 직교 라고 불리는 이 단어는 cosθ가 0이 되는 값으로 데이터적 측면에서는 관련도가 없는 정보로 분류된다

Orthogonal explanation

Orthogonal Formula

 

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Projection

투사라는 뜻을 가지고 있는 단어로 한 벡터를 다른 벡터에 수직으로 내리는 것

Projection Formula / Explanation

 

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Matrix

매트릭스는 사각형으로 이루어신 수의 집합이다. 주로 nXp의 형태로 이루어져 있으며 실재하는 수들로 이루어져있다

Matrix Explanation

 

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Transpose

전치행렬을 뜻하며 x축과 y축을 바꾸어둔 듯한 모습을 하고 있다

주로 \ 방향으로 뒤집었다고 설명할 수 있다

Transpose Explanation

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Square Matrix / Symmetric Matrix

행렬이 정사각형일 때 전치행렬과 같은 형태를 띄고 있다면 대칭 이라고 말할 수 있다

Square Matrix / Symmetric Matrix Explanation

 

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Matrix Addition

행렬끼리의 덧셈을 같은 위치에 있는 수 끼리만 더하면 된다

Matrix Addition Example

 

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Scalar Multiplication

스칼라값과 행렬을 곱하면 모든 행렬의 요소에 스칼라값이 곱해진다

Scalar & Vector Multiplication Example

 

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Matrix Multiplication

행렬끼리의 곱셈을 나타낸 그림이다

How to do Matrix Multiplication & Exaple

 

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Determinant

정사각 형태이어야 한다

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Matrix Inverse

역행렬이다

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Trace of a Matrix

determinant에서 \ 방향에 있는 모든 값을 합한 것